Video: Historia de la Matemática, los comienzos en la antiguedad

Presentamos un interesante video de la historia de la matemática donde se abordan con gran interés e idoneidad los temas característicos de los origen de esta disciplina, así como algunas cuestiones de filosofía de la matemática asociadas a ellos. El video pertenece a un canal de historia y está excelentemente conducido por el profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford Marcus du Sautoy. En esta primera parte se abordan los orígenes del pensamiento y el conocimiento matemático, desde la primitiva matemática de los egipcios, desarrollada a partir de problemas prácticos, con el conocimiento de algunos teoremas, la proporción o número aureo presente en algunas de las famosas pirámides, el conocimiento de las fracciones y el papiro de Rhind, también conocido como papiro de Ahmes.

Dos sentidos de "formal" respecto de un sistema axiomático

En el presente artículo meramente señalaremos una ambigüedad que suele presentarse cuando se habla del carácter formal de un sistema axiomático en filosofía de las ciencias formales y en filosofía de las matemáticas.

Y lo mismo con las nociones de "axioma" y "teorema".

La ambigüedad reside en dos diferentes sentidos de la palabra "formal" cuando se aplica a un sistema axiomático.

Se suele dividir a las ciencias (en una de las clasificaciones posibles) entre ciencias formales y ciencias fácticas, siendo las primeras aquellas caracterizadas por poseer un método denominado "demostrativo" y porque su objeto de estudio, aquello de lo que se ocupa, es de carácter abstracto, ideal o "formal": números (artimética), figuras geométricas (geometría pura) y formas de razonamiento (lógica), por ejemplo, en contraposición a los hechos o eventos ubicados espaciotemporalmente de los que se ocupan las ciencias empíricas.

En este primer sentido, el vocablo "formal" se refiere a teorías científicas cuyas afirmaciones son enunciados, o sea, oraciones que pretenden describir la realidad (una parte de ella) y que por tanto poseen valor de verdad (son verdaderas o falsas).

Dicho de otro modo, las oraciones de la lógica y de la matemática, por ejemplo, tienen categoría semántica y sus términos descriptivos (no lógicos) refieren.

Pero en un sistema axiomático formal el sentido de la expresión "formal" es diferente, pues sus términos no lógicos carecen de significado.

Los términos "primitivos" y "definidos" del sistema axiomático no poseen categoría semántica, son variables susceptibles de recibir infinitas interpretaciones pero que por sí mismas nada dicen.

Por ello, los axiomas y los teoremas de cualquier sistema axiomático formal no son enunciados (carecen de significado y de valor de verdad) sino fórmulas bien formadas.

Aquí, entonces se aprecia que cuando hablamos por ejemplo de "la axiomática de Peano" podemos estar refiriéndonos a dos cosas diferentes: a su aritmética axiomatizada (una teoría metamatemática con significado) o a su estructura axiomática subyacente.

Queremos decir que una "axiomática" o una "teoría axiomatizada" no es lo mismo que un sistema axiomático formal.

Veamos el punto. Cuando Peano dice en su primer axioma "cero es un número" allí las palabras "cero" y "número" son términos "primitivos" de su sistema metaaritmético, pero interpretados, con significado: "cero" significa lo que ordinariamente entendemos por cero y "número" tiene el significado que intuitivamente le damos a esa palabra.

Pero es posible tomar los cinco axiomas de Peano y considerarlos sin categoría semántica: en ese caso tenemos el sistema axiomático formal (en el segundo sentido señalado) de la aritmética axiomatizada por Peano.

Ambas cosas corresponden a dominios diferentes, pues si tomamos el término primitivo "número" como un término primitivo formal (en el sengundo sentido) no es más que un molde a la espera de ser rellenado con algún significado, y la fórmula que lo contiene nada dice.

Entonces puedo ofrecer otra interpretación de "número" por ejemplo queriendo decir conjunto y ahora estoy en otra teoría axiomatizada que ya no habla de números sino de conjuntos.

De lo que resulta haber considerado tres sistemas diferentes, dos con significado y otro de base común carente de él: el sistema axiomático formal (de la aritmética de Peano y de la supuesta teoría de conjuntos aludida).

Los mismos dos sentidos pueden hallarse en la expresión "axioma" (y en "teorema"): en el sistema de Peano la expresión tiene significado (el señalado), pero desafortunadamente la familiaridad con los significados usuales de las palabras y el hecho de que al matemático italiano no se le ocurriera usar otras palabras para diferenciar los sentidos suele mover a confusión.

Si Giuseppe Peano hubiese escrito "Pepe es un sese" y luego hubiese introducido definiciones, la cuestión no se prestaría a la ambigüedad que esbozamos en este "artículo".

Pues vemos, ahora utilizando otra palabra como término primitivo, que "sese" no es nada, es una variable, una mera expresión gráfica.

Y luego damos la interpretación que nos convenga: decimos "sese" significa número, significa conjunto o lo que fuera.

Luego, "pepe es un sese" no tiene significado alguno, no es una oración verdadera ni falsa sino, como señalamos, una fórmula, pero si otorgamos significado descriptivo a los términos "pepe" y "sese", entonces será un enunciado verdadero o falso.

Esto es exactamente lo mismo que ocurre con la expresión escrita "cero es un número": podemos ver en esta oración dos cosas diferentes.

Y similarmente con el conjunto de los cinco axiomas de Peano, o sea con todo el sistema de Peano y su carácter "formal", si lo entendemos como una teoría aritmética (que habla de números) axiomatizada o como un sistema axiomático formal.

La demostración de Euclides de que existen infinitos números primos

Euclides de Alejandría, famoso por elaborar el primer sistema deductivo bajo la forma de una teoría científica –la geometría expresada en su libro Elementos- fue quien además demostró que existen infinitos números primos.
Intentaremos brindar una explicación clara y para un público amplio de cómo Euclides demostró que hay infinitos números primos.

Existen números primos y números compuestos. Los números primos son los números naturales que sólo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por la unidad, o sea por el número 1.
Por ejemplo, el 3 se puede dividir de manera exacta solo por 3 y por 1, así que califica como número primo.

Los números compuestos son aquellos números naturales que se pueden dividir exactamente por algún otro número natural, además del 1 y de sí mismos.
Todo número compuesto es producto de varios factores primos, o sea, es resultado de multiplicar varios números primos. Por ejemplo el número 165 es igual a 3 x 5 x 11; el 21= 3 x 7; el número 6 es producto de 2 x 3.
El número 1 no se considera primo ni compuesto en virtud de una convención.

Después en matemáticas existen otros tipos de números primos que no vienen al caso, como los números primos entre sí o primos relativos, que son aquellos números enteros que simultáneamente sólo pueden dividirse exactamente por 1 o por -1, aunque tomados individualmente puedan dividirse por más números (o sea no ser primos necesariamente). Por ejemplo el 8 y el 15, tomados aisladamente no son primos, pero sí lo son entre sí. Pues su máximo divisor común es el 1.

Euclides utilizó un método lógico, del que ya hablaremos, que se llama demostración por el absurdo para establecer que existen infinitos números primos, algo que hasta que él formuló este argumento no se sabía.

Demostrar algo es ofrecer un argumento que nos permita llegar a una afirmación a partir de otras con rigor deductivo.

Podemos pensar en brindar un razonamiento que permita, a partir de ciertas premisas verdaderas, llegar a una conclusión verdadera: precisamente aquello que se desea demostrar.
Esto es característico de lo que se denomina demostración directa, por ejemplo, el argumento “todos los hombres son mortales” y “Sócrates es hombre”, por lo tanto “Sócrates es mortal” garantiza que si las primeras afirmaciones (premisas) son verdaderas, también será verdadera la conclusión con toda certeza.

Pero existe una manera diferente de demostrar una cierta afirmación, que es la demostración por el absurdo. Consiste en partir de la hipótesis de que lo que queremos demostrar es verdadero, no como premisa del razonamiento sino como un supuesto, una conjetura. Se supone que si lo que queremos demostrar es verdadero (que existen infinitos números primos en el caso de Euclides), entonces si planteamos un argumento o razonamiento que incluya la negación de nuestra conjetura entre sus premisas se arribará a una contradicción.

Ello se basa en lo siguiente: en un razonamiento deductivo no se puede obtener nunca una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas, y si se obtiene una contradicción al menos una de las premisas será falsa. Y si se sabe que las otras premisas no son falsas, la que introducimos para buscar obtener una contradicción será la falsa, y esa, recordemos, es la negación de la que queremos demostrar. Y si “no p” es falsa, “p” será verdadera y habremos logrado nuestro objetivo.

En el caso de la demostración de la existencia de infinitos números primos por parte de Euclides, si se plantea que “existe un número primo que es el mayor de todos” ello es la negación de que existen infinitos números primos, pues esto último significa que no hay un número primo, cualquiera que sea, que es el mayor de todos los números primos.

Eso fue lo que hizo el primer director del departamento de Matemáticas del Museum de Alejandría. Partió del supuesto de que había un número primo que era el mayor de todos los números primos, para buscar una contradicción realizando deducciones.

Veamos como lo hizo:

N= es el número primo mayor de todos.
Si hay un número primo que es el mayor, entonces debe haber un número que resulte de multiplicar todos los números primos, incluyendo N (no importa cuál es ese número, pero se deduce de la existencia de N que existe uno que es producto de todos los primos): Llamamos P a ese número.

P= el producto de todos los primos, el que resulta de multiplicar todos los números primos hasta el mayor de todos, N: (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x N).
Como N es el número primo mayor, P es un número compuesto, ya que además resulta de multiplicar números primos, o sea, es divisible exactamente por sí mismo, por 1 y por otros números (cada uno de los primos).
A Euclides se le ocurrió, además pensar que si existe P existe P+1, un número, no importa cual, que es el que resulta de sumarle 1 a P. Llamamos a ese número K.

K= el número mayor en una unidad que el producto de todos los números primos, P. O sea K= P+1 esto es lo mismo que decir que K= (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13…x N) + 1

Ahora pensemos en el número P.
P se puede dividir por cada uno de los números primos sucesivamente una cantidad exacta de veces (no importa cuantas veces), precisamente porque lo obtuvimos multiplicando todos los números primos. Si todos los primos fuesen 50 haríamos cincuenta divisiones exactas y nuestro resultado sería 1.
Pero, si pensamos ahora en dividir K por cada uno de estos números primos que integran el paréntesis, en todos los casos nos encontraremos con que no se lo puede dividir exactamente: siempre sobra una unidad (el +1 que diferencia a K de P).

Para hacerlo más intuitivo pensemos en un ejemplo: si el número primo mayor fuese 5 el número P sería 2 x 3 x 5= 30 y K= 31 Si intentamos dividir exactamente 31 por 2 no podemos (pues nos sobra 1) si intentamos dividirlo por 3 no podemos tampoco (también sobra 1) e igualmente con el 5, pues siempre nos sobra uno y K no se puede dividir exactamente por ninguno de los números primos.

¿Conclusión? K es un número primo, pues no se puede dividir por ningún primo. Pero K es un número mayor que N, que es el primo mayor de todos.
Por lo tanto, K es un número compuesto. Aquí surge la contradicción: suponer que existe un número primo mayor de todos obliga a reconocer que existe otro número, K, que es primo y no es primo.

O bien, suponer que existe un número primo mayor de todos obliga a reconocer que existe otro número primo que es mayor que el mayor de todos.

De lo que se deduce que la afirmación de que hay un número primo que es el mayor de todos es falsa (pues procedimos deductivamente y con las otras premisas verdaderas) y, por tanto, es verdadera su negación, la que sostiene que no hay un número primo que sea el mayor de todos, o sea, que hay infinitos números primos